Так как BD - биссектриса, то угол ABC=2a. Площадь треугольника АВС равна (1/2)·3·4·sin(2a)=(1/2)·12·sin(2a). Площадь треугольника АВС является также суммой площадей треугольников ABD и BCD. Их площади равны соответственно (1/2)·3·|BD|·sin(a) и (1/2)·4·|BD|·sin(a). Тогда

(1/2)·3·|BD|·sin(a)+(1/2)·4·|BD|·sin(a)=(1/2)·12·sin(2a)

(1/2)·7·|BD|·sin(a)=(1/2)·12·sin(2a)

7·|BD|·sin(a)=12·sin(2a) - применим формулу sin(2a)=2sin(a)cos(a)

7·|BD|·sin(a)=12·2·sin(a)·cos(a)

|BD|=(12/7)·2·cos(a)

Подставляем это значение в формулу для площади треугольника ABD:

S_ABD=(1/2)·3·|BD|·sin(a)=(1/2)·3·(12/7)·2·cos(a)·sin(a)=(18/7)·sin(2a)